Opmerking vooraf!!
Deze pagina is gemaakt in 2005 en is verouderd. Wel interresant om eens te lezen.
Nadat deze pagina is gemaakt heb ik verschillende publicaties gevonden over hetzelfde onderwerp. Met dezelfde conclusies. Alleen om de terminologie te "uniformeren", heb ik in het onderstaande de term "uniform", en dus ook 1-uniform, 2-uniform en k-uniform vervangen door Archimedisch, 1-Archimedisch, 2-Archimedisch en k-Archimedisch.
De term uniform wordt ook gebruikt, maar is iets anders gedefiniëerd. Zie de pagina definities en terminologie.

Archimedische betegelingen

We gaan nieuwe wiskunde ontwikkelen en iedereen die zich een beetje wil verdiepen in "vlakvullingen" kan mee doen. Er is geen ingewikkelde wiskunde voor nodig. 

De aanleiding

In de literatuur heb ik het volgende over demi reguliere vlakverdelingen (n.b. Deze term wordt verder niet meer gebruikt, het begrip demi-regulier is vervangen door 2-Archimedisch, 3-Archimedis, etc) gevonden:

1. Er zijn 14 polymorf of demi-reguliere vlakvullingen: ordelijk samengesteld uit de 3 regelmatige en 8 semi regelmatige vlakverdelingen. (Robert Williams, The Geometrical foundation of natural structure, Dover 1979)
2. De website van Mathematica geeft ook "er zijn exact 14 demi reguliere vlakverdelingen. Dat zijn vlakverdelingen die ordelijk zijn opgebouwd uit de regelmatige en de semi regelmatige vlakverdelingen". Er worden er acht door middel van een plaatje getoond.

Terwijl ik bezig was met het maken van de pagina over demi regelmatige vlakverdelingen vond ik meerdere vlakverdelingen, die, wat ik me ook kon voorstellen bij het nogal cryptische "ordelijk", demi regelmatig waren, maar niet voorkomen in de lijst van 14.

Dus, daar gaan we:

drie voorbeelden van betegelingen. 

Definitie:

Een overdekking van het vlak met veelhoeken, zonder gaten en zonder overlappingen, noemen we een betegeling.

***

Drie betegelingen met uitsluitend regelmatige veelhoeken. Ook is bij alle drie een herhaling van het patroon zichtbaar. Daardoor is het direkt duidelijk dat de betegelingen in alle richtingen eindeloos uitgebreid kunnen worden.

Definitie:

Een betegeling met uitsluitend regelmatige veelhoeken en waarbij in twee richtingen een verschuiving mogelijk is, die de betegeling op zichzelf afbeeldt noemen we een reguliere betegeling.

***

Hieronder staan nog eens 4 van de 6 figuren van hierboven:

Bij de eerste twee komt het niet voor dat een hoekpunt van een veelhoek op een zijde van een andere veelhoek ligt, dat geen hoekpunt van die veelhoek is. Dus de veelhoeken komen in hun hoekpunten samen. Bij de derde en de vierde is dat niet altijd het geval. Zie de hoekpunten, die met een witte stip zijn aangegeven. 

Definitie:

We noemen een reguliere betegeling Archimedisch als de hoekpunten van de veelhoeken uitsluitend samenvallen met hoekpunten van andere veelhoeken.  De punten waarin deze hoekpunten samen komen noemen we de betegelingspunten van de betegeling.

Een Archimedische betegeling is dus geheel opgebouwd uit regelmatige veelhoeken. De lengtes van de zijden van deze veelhoeken zijn gelijk.En er is een herhaling van het patroon.

***

We gaan nu naar die betegelingspunten kijken:

Rond ieder betegelingspunt liggen een aantal regelmatige veelhoeken, die we aan kunnen geven met het aantal van hun zijden. We noteren dat tussen accolades en scheiden de getallen door komma's. Bijvoorbeeld in bovenstaande figuur bij A: {3,3,4,12}.  Deze notatie is afgeleid van het Schläfli symbool, daarom zullen we het het Schläfli symbool van het betegelingspunt noemen.

Bekijken we in bovenstaande figuur de situatie bij figuur B en figuur C dan liggen er rondom die twee betegelingspunten drie driehoeken en twee vierkanten. Toch zijn de situaties verschillend omdat de volgorde van de veelhoeken verschillend is. We houden daarom rekening met de volgorde en noteren de situatie bij B als {3,3,3,4,4} en bij C als {3,3,4,3,4}. Hierbij maken we geen onderscheid tussen linksom en rechtsom. Zo beschouwen we de situatie bij  de twee betegelingspunten bij figuur A als dezelfde.

Tenslotte spreken we af om bij de notatie met het kleinste getal te beginnen en indien er een keuze is bij de verdere notatie ook steeds het kleinste getal te kiezen. Zo noteren we de situatie bij C als {3,3,4,3,4} en niet als {3,4,3,3,4}. Hierdoor krijgen we een éénduidige notatie.

Definitie:

Twee betegelingspunten zijn lokaal equivalent als ze hetzelfde Schläfli symbool hebben.
Dus in die punten komen dezelfde soort regelmatige veelhoeken (driehoeken, vierhoeken etc.) samen en van iedere soort evenveel en ook nog in dezelfde volgorde. Daarbij maken we geen onderscheid tussen links om en rechts om ( zie ook de figuur hierboven met toelichting).

***

Een betegeling.
Lokaal equivalente punten zijn aangegeven met een cirkeltje van dezelfde kleur. Lokaal equivalente punten vormen een equivalentie klasse. Deze betegeling heeft 4 equivalentie klassen.

Definitie:

Een Archimedische betegeling is van de eerste orde als alle verdelingspunten lokaal equivalent zijn. (Hetzelfde Schläfli symbool hebben). Er is dan slechts één equivalentie klasse. Een Archimedische betegeling is van de tweede orde als er twee equivalentie klassen zijn. En algemeen: een Archimedische betegeling is van de n-de orde als er n equivalentie klassen zijn. De betegeling in de figuur hierboven is dus van de vierde orde.

We kunnen nu een Archimedische betegeling karakteriseren met het geven van de Schläfli symbolen van alle equivalentie klassen. We scheiden deze symbolen door een /. Voor de bovenstaande vlakverdeling wordt dit: {3,3,3,4,4}/ {3,3,4,12}/{3,4,3,12}/{4,4,4,4}.

***

Samenvatting

Het belangrijkste begrip is "een Archimedische betegeling". Dat is een betegeling die opgebouwd is uit regelmatige veelhoeken, die in hun hoekpunten samen komen. Deze punten noemen we de verdelingspunten. Verder is er een voortdurende herhaling van een patroon. 

De betegeling kunnen we karakteriseren met de Schläfli symbolen, die aan geven hoe de veelhoeken rond de verdelingspunten  liggen.

 Kun je toe met slechts één symbool dan noemen we de betegeling van de eerste orde. Heb je n symbolen nodig dan noemen we hem van de n-de orde.

***

Twee stellingen

1. Er  zijn precies 11 Archimedische betegelingen van de eerste orde.

2. Er zijn oneindig veel Archimedische betegelingen van de tweede orde.

Het bewijs van de eerste stelling volgt uit het feit dat de definitie van Archimedische betegelingen van de eerste orde precies de regelmatige en half regelmatige vlakverdelingen omvat. Dat zijn er 3 respectievelijk 8. Voor tekeningen van deze betegelingen, zie deze onderwerpen in het woordenboek: regelmatige vlakverdeling, half regelmatige vlakverdeling.

Het bewijs van de tweede:

Bekijk bovenstaande betegeling. Er zijn 2 equivalentie klassen n.l. {3,3,3,3,3,3} en {3,3,3,3,6}. Het is dus een Archimedische betegeling van de tweede orde.

Bekijk nu de betegeling hieronder, die ontstaat uit de vorige door om en om een zeshoek te vervangen door 6 driehoeken.

Er zijn geen ander type verdelingspunten bij gekomen. Dezelfde twee  equivalentie klassen zijn aanwezig n.l. {3,3,3,3,3,3} en {3,3,3,3,6}. Het is dus ook een Archimedische betegeling en van de tweede orde en zelfs eentje met hetzelfde Schläfli symbool: {3,3,3,3,3,3}/{3,3,3,3,6}

We kunnen nu uit deze betegeling om en om een zeshoek vervangen door 6 driehoeken. We krijgen dan weer een andere betegeling met hetzelfde Schläfli symbool. Zo doorgaande krijgen we een oneindig aantal betegelingen. Betegelingen waarin het aantal zeshoeken steeds spaarzamer worden, maar die wel allemaal dezelfde Schläfli symbool hebben en dus Archimedisch zijn van de tweede orde.

***

Hieronder drie n-Archimedische betegelingen, die niet voorkomen in de lijst van demi regelmatige vlakverdelingen:

{3,4,6,4}/{3,3,4,3,4}#2

{3,4,6,4}/{3,4,4,6}

{3,3,3,4,4}/{4,4,4,4}/{3,3,4,12}/{3,4,3,12}.

Voor veel meer voorbeelden:2-uniforme betegelingen,3-uniforme betegelingen,4-uniforme betegelingen. Dit zijn namelijk ook Archimedische betegelingen omdat iedere k-uniforme betegeling ook n-Archimedisch is, waarbij n>=k.

naar begin pagina