onderzoek van betegelingen met één vijfhoek

Een zoektocht

Het is niet mogelijk het gehele vlak met de regelmatige vijfhoek te bedekken. Hieronder staan een aantal mogelijkheden op het vlak te bedekken met copieën van één vijfhoekige tegel.

De vraag hoeveel type vijfhoekige convexe tegels er bestaan, waarmee het vlak volledig kan worden bedekt is bepaald geen eenvoudige vraag. In het midden van de vorige eeuw wordt het vraagstuk door ene K. Reinhardt bestudeerd. Hij vond vijf verschillende mogelijkheden. Hij slaagde er niet in te bewijzen dat deze vijf ook alle mogelijkheden waren. En dat was ook niet zo. In 1969 publiceerde H. Kershner nog drie mogelijkheden. Hij meende het probleem nu te hebben opgelost, maar ook hij gaf geen bewijs. (Hij beweerde dat voor een bewijs een heel boek nodig zou zijn). In juli 1975 schreef Martin Gardner, een waarlijk befaamde columnist van de Scientific American over het probleem. Een van zijn lezers, Richard James, pikte het probleem op en vond zowaar een negende mogelijkheid. Deze werd in december 1975 in de column van Martin Gardner gepubliceerd tezamen met een reactie van Kershner. Het verhaal is hiermee nog niet uit. Marjorie Rice, fervent puzzelaarster, in het bezit van een scherpe geest, geen wetenschapper, maar huisvrouw, las het artikel en ging aan de slag. In februari 1976 ontdekte zij een tiende mogelijkheid en voor het einde van 1977 vond ze er nog eens drie bij. De huidige stand van zaken (2005) is nu dat er dertien verschillende type vijfzijdige tegels zijn waarmee het vlak volledig bedekt kan worden. Er is nog steeds geen sluitend bewijs. U kunt dus nog op zoek gaan naar een veertiende, een vijftiende...................;
U kunt ook een van de patronen gebruiken om, op de manier als uitgelegd op de pagina's ontwerpen via driehoek, vierhoek en zeshoek, een patroon te ontwerpen.

Trial en error

opm: "er is ook nog een aparte pagina: betegelingen, ontwerpen via trial en error".

De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108°. Er is één regelmatige ster tienhoek. Deze heeft hoeken van 72°. De hoek van het "valse" hoekpunt is 108°. Dit geeft aanleiding het volgende te proberen:

Verder proberen geeft al snel problemen:

Met een regelmatige vijfhoek, drie keer zo groot als de eerste kom je weer wat verder:

Uitbreiden maakt allerlei aanpassingen noodzakelijk. Met veel schuiven en uitproberen ontstond uiteindelijk dit patroondit patroon:

Dit patroon is ontstaan vanuit hetzelfde uitgangspunt als het vorige ontwerp. Uiteindelijk, na nog meer schuiven en draaien was dit het resultaat. Ik vind het erg intrigerend doordat er nauwelijks regelmaat in valt te ontdekken.

Deze patronen zijn gemaakt m.b.v het programma Corel Draw. heeft u de beschikking over dit programma of een ander vector geöriënteerd programma dan kunt u ook met deze trial en error methode patronen ontwerpen. Een zekere kennis over regelmatige veelhoeken, waaronder ook de regelmatige ster veelhoeken lijkt mij wel nodig en ook wat geduld en uithoudingsvermogen. In het begin lijkt niets te lukken. En dan opeens zie je een scala van mogelijkheden.

Meer nog over mogelijkheden en onmogelijkheden met de regelmatige vijhoek: ontwerpen van betegelingen met een regelmatige vijfhoek.

naar begin pagina