ontwerpen van betegelingen met één regelmatige vijfhoek

Met de regelmatige vijfhoek kan je het vlak niet opvullen.

Dus kunnen we alleen op zoek gaan naar betegelingen, waar regelmatige vijfhoeken in voorkomen met een of meerdere andere veelhoeken. We gebruiken de "trial en error" methode. Terwijl we bezig zijn houden we in ons achterhoofd de volgen doelen:

• alleereerst: wordt het mooi.
• kan het met niet teveel verschillende stukjes.
• kan het met alleen regelmatige vijfhoeken, maar van verschillende grootte.
• kan het met tegels, die allemaal een vijftallige draai-symmetrie hebben.

We beginnen met één regelmatige vijfhoek en plaatsen op iedere zijde eenzelfde vijfhoek:

Zo te zien kunnen we op twee van de vijf zijden van de bruine vijfhoeken weer een vijfhoek plaatsen:

De vijfhoeke sluiten ruitvormige stukken van het vlak in. Laten we dus maar een tweede tegel gebruiken met de vorm van die ruit:

We kunnen weer op twee van de vijf zijden van de vijfhoeken in de buitenste ring een vijfhoek plaatsen. Er ontstaan weer dezelfde ruiten:

Ze te zien kunnen we doorgaan en steeds een nieuwe ring van vijfhoeken en ruiten toevoegen:

We kunnen op deze manier het hele vlak betegelen. Anders als bij veel betegelingen op deze website kunnen we deze betegeling niet zo verschuiven, dat de verschoven tegels precies samenvallen met het oorspronkelijke patroon. Er is wel een centrum, namelijk het midden van de blauwe tegel. Door de betegeling over een veelvoud van 72 graden rond dat centrum te draaien kunnen we wel precies dezelfde betegeling terug krijgen.

Het is geen onthutsende mooie betegeling. Wel is het een betegeling met slechts twee verschillende tegels (waarbij natuurlijk de regelmatige vijfhoek) en met minder dan twee kan het niet.

Deze betegeling komt al voor in een boek van Albrecht Dürer uit 1525. Hier een foto van zijn oorspronkelijke tekening

.
Albrecht Dürer, uit Underweysung der Messung, 1525

Als je na de bovenstaande tekeningen kijkt, zie je steeds vijfhoeken in evenwijdige rijen liggen. Kennelijk is met dezelfde twee tegels is ook een betegeling te maken met verschuivings symmetrie:

Betegeling met regelmatige vijfhoeken en ééen ruit.

Hieronder een prachtige betegeling bestaande uit regelmatige vijfhoeken, tienhoeken, de regelmatige vijfpuntige ster en een andere ruit als hierboven. Deze ruit met hoeken van 72° en 108° past veel beter bij de tegels met vijfvoudige rotatiesymmetrie. De betegeling kan ook zo gemaakt worden dat hij periodiek is. Zie de figuur hieronder. Ik ben behoorlijk trots op deze betegeling, die ook gevonden is met de trial-en-error methode. Nergens ben ik namelijk iets dergelijks tegen gekomen.

Met dezelfde tegels is ook een periodieke betegeling te maken.

naar begin pagina