wat zijn fractalen 2

tweede constructie voorbeeld: de Cantor verzameling

of niet iedere fractal is een mooi plaatje

Bovenstaand proces denken we ons oneindig vaak herhaalt.
Dat wat er dan overblijft heet de Cantor verzameling en is een fractaal.

De eerste vraag is, denk ik: "blijft er überhaupt wat over, als je als maar doorgaat, oneindig vaak, met weghalen ?"
Deze vraag is niet al te moeilijk te beantwoorden:

Na een stap is het meest linkse, nog overgebleven gebiedje [0,1/3], na twee stappen [0,1/9], na 3 stappen [0,1/27] en na duizend stappen [0,(1/3)^1000] . maar ook in dit hele kleine gebiedje blijft 0 staan als je het middelste gedeelte weghaalt.

Maar niet alleen 0 blijft over. Als je nog eens goed naar het proces kijkt, blijven alle eindpunten van de stukjes die blijven staan over. In stap 1 de getallen 0 en 1. In stap twee komen daar de getallen 1/3 en 2/3 bij. In de derde stap komen daar 1/9 en 2/9, 7/9 en 8/9 bij. Je kunt deze overgebleven getallen "aftellen", op de volgende manier:

Aftellen van de eindpunten van de segmenten. De bijbehorende getallen blijven in ieder geval over en behoren dus tot de Cantor verzameling.

Uit bovenstaande blijkt dat de Cantorverzameling in ieder geval aftelbaar veel elementen bezit. Zijn ze dat allemaal? Nee, niets iets minder waar. Er behoren nog veel meer getallen tot de Cantor verzameling. Maar deze getallen te beschrijven is een andere zaak.

naar begin pagina