de Sierpinski driehoek

andere benamingen:"Sierpinski zeef ".

Engels: "Sierpinski triangle, Sierpinski gasket, Sierpinski sieve"

De constructie

stap 0: een gelijkzijdige driehoek (0de orde).

stap 1: verdeel de gelijkzijdige driehoek in vier gelijkzijdige, even grote driehoeken en verwijder de middelste (1ste orde).

stap 2: verdeel de overgebleven drie gelijkzijdige driehoeken op dezelfde manier als in stap 2 weer in vieren en haal het middelste driehoekje weg (2de orde).

stap 3: doe het zelfde met de 9 driehoekjes uit stap 3. (3de orde).

stap4 en 5 en 6 en ...... : de overgebleven driehoekjes uit de vorige stap in vier gelijkzijdige driehoekjes verdelen en de middelste weg halen.

Evenals bij de de constructie van de Cantor fractaal wordt er steeds iets weggehaald. Anders dan bij die constructie zijn het geen lijnstukjes, maar stukjes van het vlak. Er ontstaan steeds meer en steeds kleinere driehoekjes. We denken ons dat proces oneindig vaak herhaald. Wat er over blijft heet de Sierpinski driehoek.

Dat er iets overblijft, kun je al in iedere stap van de constructie zien: de zijden van de begin driehoek worden nooit weggehaald. En ook de zijden van de driehoekjes die in iedere volgende stap ontstaan. Maar dan moeten we wel iets preciezer zijn als we zeggen dat we de middelste driehoekjes wegnemen. We laten de zijden van deze driehoekjes staan.

De zijden van het middelste driehoekjes worden niet weggehaald.

Enkele eigenschappen

groen: ode orde
geel: 1ste orde
paars: 2de orde
rood: 3de orde

Ook bij de Sierpinski driehoek vind je in iedere benadering, de benaderingen van een lagere orde terug. Bij een voldoende hoge orde kun je een deel van de figuur er uithalen en vergroten: Dat geeft dan precies hetzelfde beeld.

Pik een deel uit de Sierpinski driehoek

vergroot dat deel en .... u heeft weer hetzelfde plaatje.

Het afbeelden van benaderingen van de Sierpinski driehoek op een beeldscherm.

0de orde:

Computerprogramma's hebben een instructie voor het maken van een driehoek. Dat ziet er dan bijvoorbeeld zo uit: Polygon [(x₁,x₂ ) , (y₁,y₂ ) , (z₁,z₂ ) , (x₁,x₂ )]. Polygon is het Engelse woord voor veelhoek, de x₁,x₂ en y₁,y₂ en z₁,z₂ zijn de coö rdinaten van de hoekpunten van de driehoek. De x₁,x₂ staan er twee keer, zodat bij het tekenen van de driehoek wordt teruggekeerd naar het beginpunt. Ter vereenvoudiging van het volgende nemen we als hoekpunten de punten (0,0) en (0,1) en (1,1). Dus de instructie ziet er zo uit:

Polygon [(0,0) ,(1,0) ,(1,1) ,(0,0)]

1ste orde:

Nu moeten er drie driehoeken getekend worden. Daarvoor gebruiken we drie afbeeldingen, A, B en C
De eerste afbeelding is een vermenigvuldiging met een scalair, namelijk met een half:

A: (x₁,x₂ ) →( x₁,x₂)

Dit is wat er met de linkse driehoek gebeurd als de afbeelding (x₁,x₂ ) →( x₁,x₂) er op wordt uitgevoerd. Een computer programma berekend met deze formule de beelden van de driehoekpunten en met deze nieuwe hoekpunten wordt de driehoek getekend.

De tweede afbeelding is dezelfde vermenigvuldiging, gevolgd door de translatie ( ,0).

B: (x₁,x₂ ) →( x₁,x₂)+( ,0)

En hier is wat afbeelding B met de driehoek doet

Tenslotte afbeelding C. Ook een vermenigvuldiging met , gevolgd door een translatie n.l.(,).

C: (x₁,x₂ ) →( x₁,x₂)+( ,)

Afbeelding C verkleint de driehoek en schuift hem naar rechts en omhoog.

Dit is het resultaat wanneer alle drie de afbeeldingen zijn uitgevoerd.

2de orde en volgende orden

Op de drie driehoekjes na de 1ste stap worden nu dezelfde afbeeldingen A,B,C uitgevoerd. Dus voor alle 9 nieuwe driehoekjes worden de coördinaten uitgerekend, zowel via de afbeelding A, als B als C. Met behulp van die coödinaten worden de, nu negen, driehoekjes getekend.
Met de 9 driehoekjes worden vervolgens voor de 3de orde de coördinaten van de hoekpunten van 27 driehoekjes berekend etc. etc.

Misschien is het u niet opgevallen, maar we zijn met een andere driehoek begonnen, n.l een rechthoekige. Maar ook nu is de limiet een Sierpinski driehoek.

Het doet er niet toe met welke plaatje je begint

Hierboven is begonnen met een vierkant. Met welk figuur je ook begint, wanneer je de drie hierboven beschreven afbeeldingen gebruikt kom je altijd op dezelfde Sierpinski driehoek uit Dit is nogal verrassend. Het betekent namelijk dat alle informatie voor de Sierpinski driehoek in drie heel eenvoudige regels zit (De afbeeldingen A,B en C). Dat is dus een codering voor het plaatje. Het meest spannende daarvan zijn de vragen, die dit oproept: zijn er meer of misschien wel veel meer plaatjes met een eenvoudige codering en is het misschien mogelijk om een willekeurige tekening te nemen en daarvoor een dergelijke codering te vinden.

naar begin pagina