vouw theorie-binaire vouw algorithme

Als we een vierkant door midden vouwen als hierboven, bepalen we twee nieuwe punten op de zijden van het vierkant. Deze punten liggen op het midden van de zijden.

Als we de lengte van de zijde van het vierkant 1 stellen, dan zijn de linker- en rechterzijde verdeeld in twee stukken, die lang zijn.

We kunnen zeggen dat we de breuk hebben gevouwen en zetten dat getal bij het punt.

En zo kunnen we dus ook en vouwen.

En zo kunnen we verder gaan en ieder breuk van de vorm vouwen.

Kunnen we ook b.v. of of algemeen gezegd vouwen?

Het vouwen van: Vouw vierkant door midden (1 vouw, 2 stukken). Vouw onder- en boven weer door midden (3 vouwen, 4 stukken). Vouw alle ontstane stukken weer door midden (7 vouwen, 8 stukken. En tenslotte vouw weer alle stukken door midden (15 vouwen, 16 stukken). Tel nu de vouwlijnen van onderen af tot 11. Het deel wat onder 11 ligt is deel van de zijde.

Blijkbaar kunnen we zo alle breuken van de vorm vouwen.. We hebben dan wel 2ⁿ -1 vouwen nodig.

Het binair vouw algorithme geeft een eenvoudige methode om iedere breuk van de vorm in het minimaal aantal benodigde stappen, namelijk n stappen , te vouwen. Maar daarvoor maken we eerste een uitstapje naar het noteren van getallen in binaire vorm.

In het binaire getal systeem gebruiken we maar twee symbolen: 0 en 1. De opbouw van de notatie van getallen is hetzelfde als in het decimale getalstelsel, maar nu worden er geen machten van 10 maar machten van 2 gebruikt:

meer toelichting: woordenboek, binair getalstelsel.

Ook decimale breuken zijn mogelijk, maar dan moet je allereerst weten dat ook getallen kleiner dan 1 als een macht te schrijven zijn. We beperken ons tot breuken van de vorm .

Voorbeelden

== 2^-1

==2^-3

We kijken eerst nog even wat eigenlijk een decimale breuk, genoteerd in het tientallig stelsel betekent.

Voorbeeld

0.732 = 7/10 + 3/100 +2/1000 = 7*1/10 + 3*1/100 + 2*1/1000 = 7*10^-1 + 3*10^-2 + 2*10^-3 .

Notaties van decimale breuken hebben een analoge betekenis, alleen zijn er geen machten van 10, maar machten van 2:

Voorbeeld

0.1011 = 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4.

en hier hetzelfde voorbeeld nog eens op een andere manier verduidelijkt:

Voorbeeld

En nu het vouwen van de breuk .

Er zijn twee stappen.
Eerst noteren we de breuk al een decimale breuk in het tweetallig stelsel. Zorg dat u een stukje papier en een pen bij de hand hebt.
Vervolgens gaan we vouwen. Handig als u ook nog een vierkant stukje papier bij de hand hebt.

De notatie:

• Zet de decimale punt: .
• Vermenigvuldig de breuk met 2: 2*11/16=22/16. De breuk is dan groter dan 1. Zet een 1 achter de punt (.1) en trek 1 van de breuk af. Dus 22/16-16/16=6/16.
• We herhalen de vorige stap, dus we vermenigvuldigen de breuk weer met 1:6/16*2=12/16. Nu is de breuk kleiner dan 1. We zetten achter de 1 een 0 (.10) en trekken niets af. Dus we houden 12/16.
• We herhalen. 2*12/16=24/16 is groter dan 1. We zetten een 1 (.101) en trekken 1 af. Dus 24/16-16/16=8/16
• We herhalen. 2*8/16=16/16 zetten nog een 1 (.1011). Trekken 1 af en houden niets over. We zijn klaar.

Het vouwen

Kijk naar het genoteerde getal, hier dus .1011 en werk van rechts naar links:

Het eerste getal rechts is een 1: vouw het vierkant van boven naar beneden door midden:

Omdat het eerste getal rechts altijd een 1 is, is dit ook bij iedere breuk de eerste stap.

Vervolgens iedere keer als er, van rechts naar links werkend een 1 staat: vouw de bovenkant van het vierkant op de daarvoor gemaakt vouw. Als er een 0 staat: vouw de onderkant van het papier op de voorgaande vouw:

Er staat een 1.

Er staat een 0.

Er staat een 1.

1. Wilt u een echte uitdaging: Toon aan dat bovenstaande methode (algorithme) correct is.

2. Op dit binair vouwalgorithme gebaseerd bestaan er verschillende andere algorithmen om iedere breuk te vouwen.

naar begin pagina